logika proposisi

LOGIKA MATEMATIKA

Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir. Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid. Berpikir logis digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu komputer untuk menguji kebenaran dari program dan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu pengetahuan alam untuk menarik kesimpulan dari eksperimen-eksperimen, dalam ilmu pengetahuan sosial dan dalam kehidupan sehari-hari untuk menyelesaikan banyak masalah. Tentu saja, kita tak henti-hentinya menggunakan pemikiran yang logis.

Dalam logika kita tertarik kepada benar atau salahnya dari pernyataan-pernyataan (statemen-statemen), dan bagaimana kebenaran/kesalahan dari suatu statemen dapat ditentukan dari statemen-statemen lain. Akan tetapi, sebagai pengganti dari statemen-statemen spesifik, kita akan menggunakan simbol-simbol untuk menyajikan sebarang statemen-statemen sehingga hasilnya dapat digunakan dalam banyak kasus yang serupa. Pokok bahasan ini merupakan konsep dasar yang sangat penting dalam mempelajari konsep-konsep matematika yang lebih lanjut.

A.  Pentingnya Belajar Logika

Logika membantu untuk mengatur pemikiran kita dalam memisahkan hal yang benar dari yang salah. Sering kali kita membuat asumsi yang salah terhadap sesuatu hal, hanya karena salah menafsirkan. Disini logika dapat membantu kita menghindari salah penafsiran, dan meningkatkan daya berfikir secara analitis. Simbol-simbol (notasi) dalam logika merupakan sarana yang sangat penting dalam melakukan penalaran.

Notasi adalah suatu alat untuk mempresentasikan suatu obyek (obyek ini dapat berupa benda, kalimat, bilangan-bilangan, dan sebagainya). Karena dengan adanya notasi dapat menyatakan secara singkat kalimat verbal yang panjang menjadi kalimat yang pendek dan penuh arti. Kalimat verbal yang berlebihan cenderung tidak jelas, dan sebaliknya penggunaan notasi yang berlebihan juga cenderung membuat materi itu menjadi sulit untuk dipelajari. Oleh karena itu penggunaan notasi harus dijaga agar tidak menghilangkan kelengkapan kalimat yang diwakili.

Contoh:

Ada sebuah bilangan yang jika ditambah dengan 2 menghasilkan 5. Cari bilangan itu? Maka dapat ditulis dengan kalimat yang lebih singkat:

Selesaikan persamaan x + 2 = 5

Ada beberapa catatan dalam penggunaan notasi diantaranya adalah:

1.   Untuk menunjukkan obyek yang spesifik, gunakan huruf atau simbol tertentu.

2.   Setiap huruf atau simbol dapat digunakan untuk mewakili suatu obyek.

3.   Ada simbol-simbol tertentu yang mewakili obyek-obyek tertentu.

4.   Sekali sebuah simbol sudah dipakai untuk mewakili suatu obyek, harus digunakan secara  konsisten untuk mewakili hanya obyek itu saja.

Logika simbolik merupakan logika formal yang cenderung bersifat teknis dan ilmiah. Ada dua pendapat tentang logika simbolis yaitu:

1.   Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah, khususnya yang dikembangkan dengan pengunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus sehingga dapat terhindar dari makna arti ganda dari bahasa sehari-hari.

2.   Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa. Simbol-simbol itu diolah sesuai dengan aturan-aturn yang diberlakukan dibidang matematika untuk menetapkan apakah pernyataan bernilai benar atau salah.

Demikian juga ketidakjelasan berbahasa dapat dihindari dengan menggunakan simbol-simbol ini, karena setelah problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya menjadi bersifat mekanis.

B.     Pernyataan

Unit terkecil yang berhubungan dengan logika (proposisional) adalah kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sebarang kalimat tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Jenis kalimat ini disebut pernyataan atau statemen (statement). Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu sebuah pernyataan. Hanyalah kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan sesuatu” (kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan. Akan tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan sebagai pernyataan.

Jadi, pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi (propositions) atau kalimat tertutup. Jika sebuah pernyataan benar, maka pernyataan tersebut dikatakan mempunyai nilai kebenaran “benar”; jika sebuah pernyataan salah, maka nilai kebenarannya adalah “salah”.

Contoh 1.1

Berikut ini adalah contoh pernyataan:

(a) Bumi adalah bulat.

(b) 2 + 3 = 5 .

Kalimat (a) dan (b) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “benar”.

Contoh 1.2

Berikut ini adalah contoh bukan pernyataan:

(a) Bukalah pintu itu!

(b) Apakah anda dapat berbahasa Cina?.

Kalimat (a) adalah perintah dan kalimat (b) adalah pertanyaan.

C.  Pernyataan Majemuk dan Penghubung Logika

1.   Pernyataan Majemuk

Kalimat-kalimat sederhana yang benar atau salah adalah dasar dari pernyataan. Kalimat-kalimat yang lebih besar dan kompleks dapat dikonstruksi dari pernyataan dasar dengan mengkombinasikannya dengan penghubung logika (connectives). Jadi, proposisi dan penghubung logika adalah unsur dasar dari logika proposisional. Dalam matematika, huruf-huruf x, y, z,... melambangkan variabel yang dapat diganti dengan bilangan riil dan variabel-variabel ini dapat dikombinasikan dengan operasi hitung +, ´, -, dan ¸. Dalam logika, huruf-huruf p,q, r,... melambangkan variabel-variabel pernyataan, artinya variabel yang dapat diganti dengan pernyataan.

Contoh 1.3

Berikut ini adalah contoh variabel pernyataan:

p : 2 + 3 = 5 .

q : 2 adalah bilangan prima.

r : 2 adalah bilangan rasional.

Pernyataan-pernyataan yang disajikan dengan huruf-huruf p, q dan r dinamakan sebagai pernyataan primitif.

Variabel-variabel pernyataan dapat digabungkan dengan penghubung-penghubung logika untuk memperoleh pernyataan majemuk. Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan majemuk hanya bergantungpada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya (komponen-komponennya) dan pada jenis penghubung logika yang digunakan. Sebagai contoh, kita dapat mengkombinasikan variabel-variabel pernyataan dalam Contoh 1.3 dengan penghubung dan (and) untuk membentuk pernyataan majemuk

2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan rasional

atau

q dan r .

Hubungan dari nilai kebenaran pernyataan majemuk dan variabel-variabel

penyusunnya dapat disajikan dengan sebuah tabel. Tabel ini menyajikan nilai dari sebuah pernyataan majemuk untuk semua nilai yang mungkin dari variabel-variabel penyusunnya dan disebut tabel kebenaran. Dalam

membuat tabel kebenaran, ditulis “T” untuk benar (True) dan “F” untuk salah (False).

2.   Penghubung Logika

Ada lima jenis penghubung logika yang dapat dipakai untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan menjadi pernyataan majemuk, yaitu: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Tabel 1.1 menyajikan jenis, simbol dan bentuk dari lima penghubung logika.

Tabel 1.1

Jenis Penghubung	Simbol	Bentuk
Negasi	¬	tidak …
Konjungsi	˄	…dan…
Disjungsi	˅	…atau…
Implikasi	Þ	Jika… maka…
Biimplikasi	Û	...Jika dan hanya jika...

a.   Negasi

Misalkan p sebuah pernyataan. Negasi (ingkaran) dari p adalah pernyataan tidak p , yang dilambangkan dengan ¬ . Jadi, jika p bernilai benar, maka ¬p bernilai salah, dan jika p bernilai salah, maka ¬p bernilai benar. Tabel kebenaran ¬p relatif terhadap p disajikan dalam Tabel 1.3.

Tabel 1.3.

p	¬p
T	F
F	T

Contoh 1.4

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

(a) p : 2 + 3 > 5

(b) q : 5 - 2 = 3

(c) r : Hari ini hujan

Penyelesaian:

(a) ¬p : 2 + 3 £ 5

(b) ¬q : 5- 2 ¹ 3

(c) ¬r : Hari ini tidak hujan.

b.   Konjugasi

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Konjungsi dari p dan q adalah pernyataan majemuk “ p dan q ”, yang dilambangkan dengan p ˄ q. Pernyataan majemuk p ˄ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar. Pernyataan majemuk p ˄ q bernilai salah jika salah satu p atau q salah, atau p dan q keduanya salah.

Tabel 1.4.

p	q	p ˄ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Contoh 1.5

Bentuklah konjungsi dari p dan q :

(a) p : 2 + 3 > 5 ; q : 5 - 2 = 3

(b) p : -3 > -7 ; q : 3 < 5

Penyelesaian:

(a) p ˄ q: 2 + 3 > 5 dan 5 - 2 = 3                                 (F)

(b) p ˄ q: - 3 > -7 dan 3<5                                          (T)

c.    Disjungsi

Disjungsi dari pernyataan-pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk “ p atau q ”, yang dilambangkan dengan p ˅ q. Pernyataan majemuk p ˅ q bernilai benar jika salah satu p atau q benar atau kedua-duanya benar. Dalam praktek, kadang-kadang ditulis “dan/atau”. Sedangkan kata ”atau” dalam arti eksklusif dilambangkan dengan ⊻ . Pernyataan majemuk p˅q bernilai benar jika salah satu benar tetapi tidak keduanya p atau q benar. Tabel kebenaran p ˅ q dan p˅q disajikan dalam Tabel 1.5.

Tabel 1.5.

p	q	p˅q	p⊻ q
T	T	T	F
T	F	T	T
F	T	T	T
F	F	F	F

Contoh 1.6

Bentuklah disjungsi dari p dan q :

(a) p : 2 + 3 ¹ 5; q : 5 < 3

Penyelesaian:

(a) p ˅ q : 2 + 3 ¹ 5 atau 5 < 3 (F)

d.    Implikasi

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk “jika p , maka q ”, yang dilambangkan dengan p Þ q disebut pernyataan bersyarat atau implikasi. Pernyataan p disebut hipotesis atau anteseden (antecedent) dan q disebut konklusi atau konsekuen (consequent). Pernyataan majemuk p Þ q bernilai salah jika p benar dan q salah. Dalam kemungkinan lainnya, p Þ q bernilai benar. Tabel kebenaran p Þ q disajikan dalam Tabel 1.6.

Tabel 1.6.

p	q	p Þ q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Contoh 1.7

Tulislah implikasi dari p dan q :

a) p : Saya lapar; q : Saya akan makan¬

b) p : 2 adalah bilangan prima; q : 2 < 4

Penyelesaian:

a) Jika saya lapar, maka saya akan makan

b) Jika 2 adalah bilangan prima, maka 2 < 4 .

e.    Biimplikasi

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk “ p jika dan hanya jika q ”, yang dilambangkan dengan pÛq disebut biimplikasi atau ekuivalensi. Tabel kebenaran pÛq disajikan dalam Tabel 1.7. Pernyataan majemuk pÛq bernilai benar jika p dan q keduanya benar atau keduanya salah. Biimplikasi pÛq juga dinyatakan sebagai p adalah syarat perlu dan cukup untuk q .

Tabel 1.7.

p	q	pÛq
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Contoh 1.8

Apakah biimplikasi berikut benar?

3 < 4 jika dan hanya jika 4 - 3 > 0.

Penyelesaian:

Misalkan p adalah pernyataan 3 < 4 dan q adalah pernyataan 4 - 3 > 0 Karena p dan q keduanya bernilai benar, maka disimpulkan bahwa pÛq bernilai benar.
untuk materi logika predikat yang merupakan lanjutan dari logika proposisi dapat di unduh di sini